古巴比伦乘法表和倒数表
Original Essay: http://www.math.stonybrook.edu/~tony/whatsnew/may12/tablets/bab-mult2.html
Published on American Mathematical Society
介绍
在 Duncan Melville 的网站上有一个对古巴比伦数学的在线调查。
“古巴比伦” 在这里指的是大约四千年前（大约公元前 2000 年）在今天的伊拉克的一个蓬勃发展的文明。当时的文献是用楔形文字（“楔形”）写在泥板上的，其中大部分是长方形的，大小正好适合拿在手中（约5×85×8cm或2×32×3英寸）。从这个文明的废墟中出土了数十万块石碑；其中可能有一千个左右与数学有关。例如，宾夕法尼亚大学考古学和人类学博物馆，在其楔形文字数字图书馆计划的网站上编目并附有照片的藏品中，包括了 458 块古巴比伦数学板（其中约 110 块已出版）。
对于古巴比伦人来说，数学是实用的。 许多数学石板是“问题文本”：它们包含问题或问题集，有时还带有解决方案。 许多问题涉及几何。 其余的几乎总是“文字问题”，其中的内容是计算不规则场地的面积、沟渠的体积、建造坡道的砖块数量…… 理解文字问题除了需要了解用于记录它们的语言之外，还需要对文化（特别是其不同的单位系统及其关系）有透彻的理解。 即使是几何问题也需要专门的词汇和熟悉巴比伦解决方案的方式。 但与问题文本一起出现的是“表格文本”，任何掌握巴比伦数字系统的人都可以理解； 它们是至今仍然存在且有用的数学制表传统的第一个已知例子。
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| 我三年级笔记本上的乘法表。格式与古巴比伦语的相同（见下表： 12的乘法表）。 其中明显的区别是我们将 0 列为数字； 而古巴比伦人没有这样的符号。 |
在古巴比伦中平方表、平方根表、立方根表和类似的计算表都存在； 在这里，我们将专注于两个最基本的：乘法表和倒数表（对于古巴比伦人，除以 n 等于乘以 ）。 罗马人远早于我们几千年，而对这些文献的研究得以让我们与比罗马人还要远早几千年的数学使用者建立真正的知性的连结。
感谢 Bill Casselman 和 Christian Siebeneicher 为我提供图片（并感谢 Yale Balylonian Collection 允许复制 NBC 7344）； 尤其要感谢 Jöran Friberg，他为我制作了一组来自 Martin Schøyen 收藏的精美平板电脑图片。 本文中对“Friberg”的引用于他的著作“A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts”（Springer，2007 年）。
古巴比伦的数字系统
古巴比伦的数字系统具有三个特点：
- 数字是以 60 进制（“六十进制”）位值系统表示。 这是一项本地的、非常重要的发明。 我们仍然保留了他们测量角度和时间的符号：度（或小时）、分钟和秒。
- 从 1 到 59 的数字（没有符号0）由 1 的符号和 10 的符号组合表示。就像罗马数字只使用 I 和 X。巴比伦数字从 1 到 20（加上 30、40、 50) 出现在下面显示的四个乘法表中的每一个的中央列中。
- 没有“小数点”； 正如弗里伯格所说：“所有巴比伦的六十进制数都被写成整数，但在巴比伦楔形文字中，60进制数的预期值可以是它的‘名义’值乘以 60 的任何正或负幂。” 预期值的比例必须由文本内容来确定。
十的乘法表
在10进制表示法中，10 的乘法表不是很有趣，但在 60进制 中，事情就不那么简单了。
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| 柏林 Vorderasiatisches 博物馆收藏的这张 10 的乘法表， VAT7858，展示了乘法表的一种常见格式：第一行（此处部分难以辨认）读作： a-rà 6 1 |
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| 反面写着 |
五的乘法表
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| 这个 5 的乘法表（Yale Babylonian Collection 中的 NBC7344）遵循与 VAT7858 相同的格式： |
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| 反向运行从 |
十二的乘法表
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| 在这个12的乘法表（Schøyen 收藏中的 MS2184/3）上，格式与更标准的 NBC7344 不同：在每一行上重复乘数： |
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| 反面： |
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| 最后两行环绕在石板的底部/顶部： |
1 1/5 的乘法表
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| 这张表（Schøyen 收藏的 MS3866）有“head-number” 1 12，所以它是一个1； 它遵循标准格式： |
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| 反面的前三行有部分缺失，但他们因显示为： |
倒数表
标准的古巴比伦表给出了数字 3/2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 1 , 1 04, 1 21的倒数; 倒数是这些数乘以得到 1 的六十进制数。有些表省略了 ，有些还给出 1 12、1 15、1 20。因为 1 表示 60=⋅3⋅5 的任何幂,这些数字都必须是正规数的：它们只能有 2、3 和 5 作为质因数。标准表中的数字具有它们和它们的倒数需要不超过三个 六十进制位 的性质。 如果我们用小数尝试类似的结构，列表只能包括 1,2↔5,4↔25,8↔125和 16↔625。
此处显示的是 Schøyen 系列中的 MS3874。 转录和（翻译）自弗里贝格。
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 | 1 .da 3" .bi 40 .àm (1, 它的2/3, 40 它是); |
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 | 无法找到石板的底部。 Friberg 提供了完成标准倒数表所需的行（正面底部和反面顶部）： “长碑”是学生ši-ip-suen写的。 照片由 Jöran Friberg 提供。 |
出于数学的连贯性，我认为前两行应该理解为：“3/2的倒数是40” 和 “2的倒数是30”。
